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En geometría, un plano es el ente ideal que sólo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos

En geometría, un plano es el ente ideal que sólo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es uno de los entes geométricos fundamentales junto con el punto y la recta.

Solamente puede ser definido o descrito en relación a otros elementos geométricos similares. Se suele describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales. .-Cuando se habla de un plano, se está haciendo referencia a la superficie geométrica que no posee volumen (es decir, que es sólo bidimensional) y que posee un número infinito de rectas y puntos que lo cruzan de un lado al otro. Sin embargo, cuando el término se utiliza en plural, se está hablando de aquel material que es elaborado como una representación gráfica de superficies de diferente tipo. Los planos son especialmente utilizados en ingeniería, arquitectura y diseño ya que sirven para diagramar en una superficie plana otras superficies que son regularmente tridimensionales.

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:

Tres puntos no alineados.
Una recta y un punto exterior a ella.
Dos rectas paralelas.
Dos rectas que se cortan.

Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.

Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización, como una figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos: un punto y dos vectores

Punto P = (x1, y1, z1)
Vector u = (a1, b1, c1)
Vector v = (a2, b2, c2)
(x,y,z)= (x_1, y_1 ,z_1)+ m(a_1, b_1 ,c_1) +n(a_2, b_2 ,c_2) \,\!

Ésta es la forma vectorial del plano, sin embargo la forma más utilizada es la reducida, resultado de igualar a cero el determinante formado por los dos vectores y el punto genérico X = (x, y, z) con el punto dado. De esta manera la ecuación del plano es:

\begin{vmatrix}(\mathbf{X}-\mathbf{P})\\ \mathbf{u} \\ \mathbf{v}\end{vmatrix}=0 => \begin{vmatrix}x-P_x & y-P_y & z-P_z\\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z\end{vmatrix}=0 => A x +B y +C z + D =0

Donde (A, B, C) es un vector perpendicular al plano, coincide con el producto vectorial de los vectores u y v. la fórmula para hallar la ecuación cuando no está en el origen es:

a(x-h)+b(y-k)+c(z-j)=0 \,

[editar] Posición relativa entre dos planos

Si tenemos un plano 1 con un punto A y un vector normal 1, y también tenemos un plano 2 con un punto B y un vector normal 2.

Sus posiciones relativas pueden ser:

Planos coincidentes: la misma dirección de los vectores normales y el punto A pertenece al plano 2.
Planos paralelos: si tienen la misma direción los vectores normales y el punto A no pertenece al plano 2.
Planos secantes: si los vectores normales no tienen la misma dirección.

Todas las construcciones con regla y compás son aplicaciones sucesivas de cinco construcciones básicas, usando en cada una los puntos, líneas y círculos que se hayan creado en fases anteriores. Esas cinco únicas construcciones posibles son:
Construcciones básicas

Crear el segmento de recta que une dos puntos preexistentes (en realidad, la recta: recuérdese que la regla es de longitud infinita).
Crear el círculo con centro en un punto dado y cuya circunferencia toca otro punto dado
Crear el punto en el que se intersecan dos rectas no paralelas.
Crear el punto, o la pareja de puntos, en los que se intersecan (si lo hacen) una línea y una circunferencia.
Crear el punto, o la pareja de puntos, en los que se intersecan (si lo hacen) dos circunferencias.

Por ejemplo, partiendo de dos puntos dados, se puede crear una recta, o bien se pueden crear dos círculos (cada punto hace de centro de un círculo y de extremo de otro). Si optamos por los dos círculos, su intersección dará lugar a dos nuevos puntos. Si trazamos segmentos de recta entre los puntos originales y uno de los nuevos puntos, habremos construido un triángulo equilátero. Así pues, el problema: "construir un triángulo equilátero dado uno de sus lados (o los puntos extremos de uno de sus lados) es trivialmente resoluble con regla y compás.

Hay muchas formas distintas de demostrar que algo es imposible. La estrategia que se seguirá en este artículo para presentar un esquema informal de las demostraciones de imposibilidad de los problemas clásicos es la de determinar en primer lugar los límites de la regla y el compás —lo que se puede hacer y lo que no se puede hacer con ellos—, y mostrar seguidamente que para resolver los problemas deberían superarse tales límites.

Usando regla y compás se pueden definir coordenadas en el plano. Se parte de dos puntos que han de considerarse "dados", y se traza la recta que pasa por ambos. Se llama al resultado "eje X", y se define la longitud entre los dos puntos dados como unidad de longitud.

Por tanto, tener dos puntos como datos de partida es equivalente a tener un eje de coordenadas y una unidad de longitud.

Ahora bien: una de las construcciones más sencillas con regla y compás es la de trazar una recta perpendicular a otra dada, así que se hace precisamente eso, con lo que se obtiene un "eje Y".

Así pues, tener dos puntos como datos es equivalente a tener un sistema de coordenadas cartesianas, con ejes X e Y, y con unidad de distancia.

Por otro lado, un punto (x,y) en el plano euclídeo puede identificarse con el número complejo x + yi. En la construcción con regla y compás, se empieza con un segmento de recta de longitud unitaria. Si se es capaz de construir un punto dado, un punto cualquiera, en el plano complejo, entonces se podrá decir que ese punto es un número complejo construible.

Por ejemplo, si se dan dos puntos como datos, los números complejos 1, − 1, 1 + i, 1 − i, etc. son fácilmente construibles.

De hecho, con construcciones conocidas de la geometría euclidiana se pueden construir los números complejos de la forma x + yi siempre que x e y sean números racionales. De modo más general, usando las mismas construcciones, uno puede, dados dos números complejos a y b, construir a + b, a − b, a × b, y a/b.

Esto muestra que los números construibles forman un cuerpo, que por tanto es un subcuerpo de los números complejos. Puede demostrarse algo más: dada una longitud construible es posible construir su conjugado y su raíz cuadrada.

Como se ha visto, las únicas formas de construir puntos nuevos es como intersección de dos rectas, o de una recta y una circunferencia, o de dos circunferencias. Usando las ecuaciones de las rectas y de las circunferencias, puede demostrarse que los puntos en los que se intersecan yacen en una extensión cuadrática del cuerpo más pequeño, F, que contenga dos puntos en la recta, el centro del círculo, y el radio del círculo. Es decir, que los puntos con intersección son de la forma x+y\sqrt{k}, donde x, y y k están en F.

Dado que el cuerpo de los puntos construibles es cerrado para las raíces cuadradas, contiene a todos los puntos que puedan obtenerse por una secuencia finita de extensiones cuadráticas con coeficientes racionales del cuerpo de los números complejos. Por lo dicho en el párrafo anterior, se puede demostrar que todo punto construible puede obtenerse por una tal secuencia de extensiones. Como corolario, se encuentra que el grado del polinomio mínimo para un número construible (y por tanto para cualquier longitud construible) es una potencia de 2. En particular cualquier punto o longitud construible es un número algebraico, sin embargo no cualquier número algebraico puede ser construido.

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